非線形指標：DFA、エントロピー、追加でわかること

これまでの指標は、間隔がどれだけ変動するかを問うものでした。非線形指標が問うのは、その変動がどう秩序立っているかです。長い拍の並びが、その短い部分を繰り返しているか（サンプルエントロピー）、変動がどの尺度でも同じように見えるか（ トレンド除去変動解析 トレンド除去変動解析 DFA α1 トレンド除去変動解析の短期スケーリング指数。1に近いと、拍はあらゆる尺度で記憶をもち、0.5に近いとノイズのようにふるまいます。α2は、より長い区間での同じ傾きです。 DFA α1についてさらに詳しく ）を見ます。ほかの指標には見えない秩序を捉えます。このレッスンでは、教材用の記録で両方を計算し、実際に何が加わったのかを検討します。

シャッフル検定

教材用の記録の341個の間隔を、ランダムな順序にシャッフルします。ヒストグラムは変わらないので、平均もSDNNも変わりません。SDNNはシャッフル前が28.7 ms、後が28.7 msです。隣り合う値をもとにする指標は、すべて動きます。RMSSDは33.4 msから39.6 msになります。なめらかな呼吸の揺れが、ランダムな飛び飛びの変化に崩されたからです。サンプルエントロピーは1.67から2.22になります。系列が予測しにくくなったのです。

非線形指標が必要な理由は、この一つの実験に尽きます。変動には、量と構造があります。SDNNと帯域パワーは量を測り、エントロピーとDFAは構造を測ります。下で、手で計算できる規模の小さな例を試せます。十拍を別の順序で入力し直し、平均とSDNNが動きえないことを踏まえて、RMSSDがどうなるかを見てください。

RMSSDをステップごとに計算

10拍分、すべての数値を表示

10個の間隔（ms、300〜2000）

1拍目 2拍目 3拍目 4拍目 5拍目 6拍目 7拍目 8拍目 9拍目 10拍目

この10個の間隔のRMSSDは26.9 msです。

ステップ 5 /5

戻る ステップ1に戻る

1. ステップ1/5 間隔を確認する

   1拍目	880 ms
   2拍目	826 ms
   3拍目	812 ms
   4拍目	823 ms
   5拍目	848 ms
   6拍目	877 ms
   7拍目	880 ms
   8拍目	866 ms
   9拍目	828 ms
   10拍目	815 ms

   11拍の間の10個の間隔（ミリ秒）です。

2. ステップ2/5 次の間隔から、その前の間隔を引く

   2拍目 − 1拍目	−54 ms
   3拍目 − 2拍目	−14 ms
   4拍目 − 3拍目	+11 ms
   5拍目 − 4拍目	+25 ms
   6拍目 − 5拍目	+29 ms
   7拍目 − 6拍目	+3 ms
   8拍目 − 7拍目	−14 ms
   9拍目 − 8拍目	−38 ms
   10拍目 − 9拍目	−13 ms

   プラスは、その拍で心拍がゆっくりになったこと、マイナスは速くなったことを表します。

3. ステップ3/5 各差を二乗する

   差1	2916
   差2	196
   差3	121
   差4	625
   差5	841
   差6	9
   差7	196
   差8	1444
   差9	169
   合計	6517

   二乗すると値がすべて正になり、大きな変化の重みが増します。

4. ステップ4/5 二乗した値を平均する

   6517 ÷ 9	724.11

5. ステップ5/5 平方根を取る

   √724.11	26.9 ms

   RMSSD 26.9 ms

JavaScriptをオンにすると、ステップが1つずつ表示され、拍の値を変更できます。

ミリ秒で表した10個の心拍間隔が、編集できる形で1行に並び、その下にRMSSDの計算が番号付きのステップで続きます。間隔を確認する; 次の間隔から、その前の間隔を引く; 各差を二乗する; 二乗した値を平均する; 平方根を取る。最後のステップでは、RMSSDは26.9 msです。「戻る」「次へ」ボタンでステップを移動できます。

サンプルエントロピー（SampEn）：次の拍はどれだけ予測できるか？

サンプルエントロピーは、単純な問いを立てます。$m$個の連続した間隔の並びを、すべて取り出します（Kubiosと大半の論文は$m = 2$を使います）。対応する間隔どうしの差がどれも許容範囲$r$より小さいとき、二つの並びが一致したとします。この許容範囲は通常、系列の標準偏差の0.2倍で、この記録では5.7 msです。一致する並びの組を数え、これを$B$とします。次に、各並びを一拍延ばして$m + 1$拍にし、そのうちなお一致している組を数えて、$A$とします。サンプルエントロピーは、次の式で表されます。

$$\mathrm{SampEn}(m, r) = -\ln\frac{A}{B}$$

言葉にすると、二拍分が一致した二つの並びが、三拍目も一致し続ける確率の対数に、マイナスをつけたものです。系列が繰り返されるなら、一致の大半が続き、$A/B$は1に近く、SampEnは0に近くなります。次の拍が誰にも予測できなければ、一致が続くのはわずかで、SampEnは2を超えて上がります。この記録のSampEnは1.67、シャッフル後は2.22です。

RichmanとMoorman（2000）は、前身である近似エントロピー（ ApEn ApEn 近似エントロピー サンプルエントロピーより古い、単位のない規則性の指標。連続する拍の各並びを自分自身とも一致するものと数えるため、短い記録では値が低いほうへ偏ります。 近似エントロピーについてさらに詳しく ）の欠点を直すために、サンプルエントロピーを定義しました。ApEnはPincus（1991）が導入したもので、各並びを自分自身とも一致するものと数えます。そのため、規則性のほうに偏り、短い系列で最も偏りが大きく、許容範囲を変えると結果が一貫しなくなります。SampEnは、自己一致を除外します。二人の論文の要旨は、SampEnが「幅広い条件にわたって、ApEnよりはるかに理論とよく一致した」と報告しています（英語からの訳）。この記録のApEnは1.02で、偏りから予想されるとおり、SampEnより低くなっています。Kubiosは、既定で$m = 2$、$r = 0.2$ SDとして、ApEnとSampEnの両方を出力し、トレンドを除去した系列で計算します（Kubios HRV User’s Guide, 2021）。

注意点が二つあります。エントロピーは、すべての並びを他のすべての並びと比べるので、記録が短いと値が不安定になります。Pincus（1991）は、ApEnには約1000個の値が必要だと示唆しました。ShafferとGinsberg（2017）は、SampEnは200個未満でも計算できると述べていますが、二人が取り上げた超短時間の研究では、5分間の値を追跡するのにSampEnは3分間が必要でした。このサイトの計算ツールは、200拍がそろうまで待ちます。また、$r$は標準偏差に比例するため、SDNNが変わると物差しも変わります。同じエントロピーでも、変動の量が違う系列がありえます。それが要点でもあり、人どうしを比べるときの落とし穴でもあります。

次の拍はどれだけ予測できるか

教材用の記録から5分間

最初の64個の間隔 m拍で一致 m + 1拍でも一致

SampEn

1.67

ApEn

1.02

許容範囲 r

5.7 ms

m拍の一致数

13

m+1拍の一致数

1

休息十分、m = 2、r = 0.20 × SD = 5.7 ms。 強調した2拍の連なりは、5.7 ms以内で他の13個の連なりと一致します。そのうち1個は、両方の連なりを1拍長くしても一致したままです。 記録内のすべての連なりで数えると、サンプルエントロピーは1.67です。呼吸のリズムによって、次の拍がある程度予測できます。

周期的 休息十分 ランダム

連なりの長さ m 2拍 許容範囲 r 0.20 × SD

JavaScriptをオンにすると操作できます。

心拍間隔64個を順に並べた折れ線グラフです。強調された箱は、m拍のテンプレートの連なりを示し、各拍の前後に±rミリ秒の許容の帯が付いています。薄い箱は、帯の範囲内でテンプレートに一致する、他のm拍の連なりです。濃い箱は、両方の連なりを1拍長くしても一致するものです。表示欄には、サンプルエントロピー、近似エントロピー、許容範囲（ミリ秒）、2つの一致数が表示され、その意味を説明する文が続きます。2本のスライダーで、m（1〜4拍）とr（標準偏差の0.1〜0.6倍）を設定できます。3つのボタンで、周期的な系列、休息十分の記録、ランダムな拍を選べます。

トレンド除去変動解析（DFA）：パターンはどの尺度でも繰り返すか？

Pengら（1995）は、心拍のゆらぎに長距離相関があるかどうかを調べるために、DFAを導入しました。長距離相関とは、今、長い間隔が続くと、数百拍後にも長い間隔が続きやすくなる性質です。手順は次のとおりです。

1. 各間隔から平均を引き、その結果を順に足し合わせて、累積和$y(k)$を作ります。ランダムな系列はランダムウォークになり、相関のある系列はもっとなめらかなものになります。
2. $y(k)$を、$n$拍ずつのボックスに分けます。各ボックスで直線をあてはめて引きます。これがトレンド除去です。
3. 残ったものの二乗平均平方根、$F(n)$を測ります。
4. 多くのボックスサイズで繰り返し、$\log F(n)$を$\log n$に対してプロットします。その傾きが$\alpha$です。

$$F(n) = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\bigl[y(k) - y_n(k)\bigr]^2} \;\propto\; n^{\alpha}$$

言葉にすると、$n$拍のボックスの中で、累積和が局所的なトレンドからどれだけ離れてさまようか、そしてボックスが大きくなるにつれ、そのさまよいがどれだけ速く増えるか、ということです。Pengらのチームは、傾きが約16拍で変わることを見いだしたため、傾きは二つ報告されます。短いボックスでのα1と、長いボックスでのα2です。ボックスの範囲はまちまちです。このサイトのライブラリは、4〜16拍と16〜64拍を使います。Quigleyら（2024）とRogersら（2021）も同じです。Kubios HRV 3.5の既定は、4〜12拍と13〜64拍です（Kubios HRV User’s Guide, 2021）。ESCとEHRAのポジションペーパーは、多くの臨床研究が、4拍から約11拍でα1を求めたと述べています。

基準となる値は厳密に決まっています。白色雑音は、間隔が互いに独立で、α = 0.5になります。ランダムウォークは、各間隔が直前の間隔にランダムな一歩を足したもので、1.5になります。その間のα = 1.0に位置するのが1/fノイズです。短いゆらぎと長いゆらぎが釣り合った、尺度によらないパターンで、健康な安静時の心臓は、通常ここにあります（Pengら, 1995）。Pengらのデータでは、重症の心不全で、この長距離のパターンが崩れていました。

この記録のα1は0.49、α2は0.65です。このα1は、いわば告白です。教材用の記録は、三つのサイン波に白色雑音を足したものです。サイン波は決まった周期で繰り返し、雑音は拍ごとに独立しているので、DFAが見つけられるフラクタルな構造はなく、短距離の傾きは白色雑音の値の近くに落ちます。健康な成人の実際の五分間の安静時記録では、通常α1は1付近になります。これも、SDNNには見えず、非線形指標には見えることの一つです。この記録は合成されたものであり、α1がそれを示しています。

記録時間は、ここでは他のどこよりも重要です。α2には64拍のボックスと、それを複数とれる長さが必要なので、Quigleyら（2024）は、フラクタル指標の最小の長さを20分としています。このサイトの計算ツールは、α2を20分以上の記録でしか報告せず、256拍未満では出しません。α1は、もっと手軽です。ShafferとGinsberg（2017）が取り上げた超短時間の研究では、2分間の拍から求めたα1が、5分間の値を追跡していました。運動への応用ができるのは、2分間のウィンドウでよいからです。

リズムは過去を覚えているか

教材用の記録から5分間

変動F(n)とボックスサイズ（拍数）、両対数 α1 α2

4 16 64

α1（4〜16拍）

0.49

α2（16〜64拍）

0.65

休息十分の記録は合成データで、4拍ごとのきれいな呼吸の波に、拍ごとのランダムなノイズが重なっています。そのため4〜16拍ではほとんどノイズのように見え（α1 0.49）、ゆっくりした波によって16〜64拍にはいくらか記憶が現れます（α2 0.65）。安静時の実際の記録では、通常はα1が約1か、それ以上になります。

休息十分 ホワイトノイズ 1/fノイズ 異所性拍動あり

混ぜるホワイトノイズ なし

JavaScriptをオンにすると操作できます。

4〜64拍のボックスサイズに対する変動を示す両対数のグラフで、ボックスサイズごとの点と、2本の近似直線があります。4〜16拍の直線がα1、16〜64拍の直線がα2です。表示欄にはα1とα2が表示され、その意味を説明する文が続きます。4つのボタンで、休息十分の記録、ホワイトノイズ、1/fノイズ、異所性拍動ありの記録を選べます。スライダーでは、選んだ系列にホワイトノイズを混ぜられます。

実際に何が加わったか

運動中。 運動強度が上がると、拍の系列はフラクタルな秩序を失い、α1は約1.0から0.5に向かって、さらにそれ以下へと下がっていきます。Rogersら（2021）は、その中間点であるα1 = 0.75を、第1換気閾値（VT1）、つまり楽な有酸素運動の上限の目印として提案しました。男性15人が段階的に負荷を上げるトレッドミルのテストを行い、α1は、Kubiosの自動補正（アーチファクト0〜3%）を行った後、2分間の移動ウィンドウで計算されました。α1 = 0.75のときの心拍数は、ガス交換閾値と一致し、平均差は1分あたり約2拍、一致限界は1分あたり−12〜+8拍でした。一部のトレーニングアプリにある「DFA α1」の表示は、これが根拠です。この研究は、規模が小さく、男性のみで、トレッドミルでの測定であり、著者らもそう述べています。17人のボランティアのうち二人は、頻繁な異所性拍動でα1の曲線が解釈できなかったため、除外されました。

心筋梗塞の後。 ESCとEHRAのポジションペーパー（Sassiら, 2015）は、α1が低いこと（カットオフ値は0.65未満や0.75未満など）が、心筋梗塞後の死亡を予測したコホートを検討し、α1がポアンカレ比のSD1/SD2と強く相関すると述べています（高齢者の一群でr = −0.92）。心不全では、臨床的な予測に対する優位性は、著者らの言葉では「せいぜい控えめ」でした。エントロピーについては、根拠はもっと乏しいものでした。ティルトテーブルでの交感神経の活性化中にApEnとSampEnが下がり、心房細動の発作の前にApEnが下がり、SampEnが早産児の敗血症を予測しました。

結論。 ポジションペーパーの結論は、新しい手法は心拍変動（HRV）の技術的な理解を前進させたが、臨床の道具としての成功は「かなり限られている」こと、従来の指標の代わりにはならないこと、そして自律神経の生理を評価するには、従来の時間領域・周波数領域の解析が引き続き「第一選択の手法」であること、というものです。1996年の指標と併用し、置き換えないこと、前向きの比較が行われるまでは臨床のリスク研究には使わないことを勧めています。ShafferとGinsberg（2017）は、逆の側から注意を加えています。非線形HRVが高いことが、一部のコホートで梗塞後の死亡を予測したので、値が高ければ自動的により健康だということにはなりません。

機器に出た非線形指標の数値の読み方

三つのことを確かめてください。どの指標を、どの設定で出しているか（$m$、$r$、ボックスサイズ、トレンドを除去したか）。記録がどれだけの長さか（アプリに何が表示されていても、1分間の測定から出したα2やエントロピーに意味はありません）。そして、どれだけ質のよい記録か（異所性拍動が一つあると、DFAのあてはめはSDNNよりはるかに大きく損なわれます。Rogersらが、頻繁な異所性拍動のある参加者を補正せずに除外したのは、このためです）。

レッスン20では、数値の計算から、それを使う研究や機器テストの読み方に話が移ります。